[이산수학] 행렬 기본 - 행렬법칙과 특수행렬들

1. 행렬 법칙 - 덧셈, 스칼라 곱

지난 포스팅에서 다룬 행렬의 덧셈과 뺄셈, 스칼라 곱 연산에 이어지는 내용이다.

 

어디까지나 최대한 간단히 행렬의 개념을 다루는 포스팅이기 때문에 증명은 다루지 않겠다.

(이후의 대학 수업에서 증명을 배우게 된다면 그때 추가적으로 포스팅해보려 한다)

 

2. 행렬 법칙 - 곱셈

여기서 주의할 점은, 행렬의 곱 연산에서 '교환법칙은 성립하지 않는다'는 것이다.

결합법칙이나 배분법칙은 행렬의 덧셈에서와 같이 똑같이 성립한다.

 

3. 행렬의 거듭제곱

행렬의 거듭제곱 역시 어려울 것 없다.

A의 세제곱은 A*A*A 연산과 같고, 이전에 배운 행렬의 곱셈을 이용해 계산하면 끝.

 

여기서 [A의 n승] 행렬은, 모든 행렬 요소가 [2의 n-1승]인 행렬이라는 성질을 이용하면 더 편리하게 정답을 구할 수 있다.

 

4. 주대각선

행과 열 크기가 같은 정방행렬에서 다음과 같이 대각선에 위치한 성분들을 '주대각선' 상에 있다고 한다.

 

주대각선 위의 모든 성분들을 대각항이라고 하고, 각 대각항의 합을 대각합(trace)이라고 한다.

대각합은 tr(A) 또는 trace(A)로 표기한다.

5. 대각행렬

 

정방행렬에서 대각선을 제외한 모든 항들이 0인 행렬을 대각행렬(Diagonal Matrix)라고 한다.

 

6. 단위행렬

대각행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1인 행렬을 항등행렬(Identity Matrix) 또는 단위행렬이라고 한다.

7. 전치행렬

[m x n] 행렬 A에 대해 [n x m] 인 행렬 B가 있다고 할때, B는 A의 전치행렬(trancepose matrix) 이다.

 

쉽게 말해 행을 열로 바꾸고, 열을 행으로 바꾼 행렬을 전치행렬이라고 한다.

다음과 같이 말이다.

8. 대칭행렬

대칭되는 행과 열을 바꾸어도 여전히 같은 행렬을 대칭행렬이라고 한다.

9. 교대 행렬

대칭행렬 중 대칭되는 항들이 서로 -를 넣은 관계인 행렬이다.