[이산수학] 행렬식의 개념 - 2*2 행렬 중심으로

1. 행렬식?

행렬식(Determinant)이란 정방행렬에 스칼라 값(수)로 대응시키는 특별한 함수다. 교수님은 그냥 '숫자에 대한 컴포넌트들을 가지고 의미있는 개념을 만들어내기 위한 식' 으로 이해하면 된다고 한다.

2. 행렬식의 법칙

행렬 A에 대한 행렬식은 Det(A) 와 같이 표현한다.

또한, 2x2 행렬에서 행렬식의 값은 a*d - b*c = (행렬식의 값)이다.

* 3x3 이상의 행렬은 구하는 방법이 복잡하니 나중에 다루려 한다.

 

2x2 행렬의 행렬식 값을 구하는 방법

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행렬식에는 4가지 정도의 특징이 있는데, 바로 다음과 같다.

 

 1) 하나의 행 또는 열의 공통인수는 밖으로 뽑아낼 수 있다.

*오타 수정 : 2*2*2(1*2-1*3)

: 행이나 열이 공통 인수를 가지고 있다면 밖으로 뽑을 수 있다. 예를 들어, 위 그림에서 첫번째 행렬 중 첫번째 행은 [2, 4] 값을 가지고 있다. 2가 공통인수이기 때문에 2만큼을 행렬 밖으로 뽑아낼 수 있는 것이다. 이런 과정을 행과 열에 대해 여러번 반복하더라도 최종 행렬식의 값은 변하지 않는다.

 

 2) 두 개의 행 또는 열을 바꾸면 행렬식의 값은 부호만 바뀐다.

: 행 또는 열의 위치를 바꾸면 행렬식의 값은 부호만 바뀐다. 

 

 3) 하나의 행 또는 열에 실수를 곱하여, 다른행 또는 열에 더하거나 빼도 행렬식의 값은 변하지 않는다. 

: 4가지 특징 중 가장 중요한 개념이라고 한다. 행렬에서 가장 밑 행의 값을 0 또는 1로 바꾸어야 의미있는 숫자가 되는데, 그러한 숫자를 만들기 위해 위와 같은 방법을 사용한다고 한다.

 

위 그림을 보면 '특정 행에 곱한 값을 다른 열에 더하거나 빼도 행렬식의 값은 변하지 않는 것'을 확인할 수 있다.

이러한 성질을 이용해 행렬의 특정 부분을 원하는 값으로 바꾸는게 가능할 것 같다.

 

4) 두 개의 행렬식이 비례 관계면 행렬식의 값은 0이다.

: 행렬에서 첫번째와 두번째 행인 [1 2], [2 4]는 비례관계다. 행렬식의 특성상 비례관계면 행렬식의 값은 항상 0이다. 

또한 한 행이 모두 0일 때에도 행렬식의 값은 항상 0이다.

 

 

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연습문제 몇가지 메모

 

의 성질을 이용해 행렬식의 값을 구한다음 제곱해주면 되는 쉬운 문제다. 행렬 A의 행렬식 값은 -2이

 

다. -2의 100제곱, 즉 2의 100제곱이 정답이 되겠다.