[이산수학] 역행렬 구하기 - 수반행렬을 이용한 방법

1. 역행렬이란?

행렬 A에 어떤 수를 곱해 항등행렬로 만들 수 있는 행렬 B가 있다면, 행렬 A는 '가역적'이라고 하며 행렬 B를 행렬 A의 '역행렬'이라고 한다.

 

여기서 잠깐, 항등행렬이 뭐였더라?

위 그림과 같이 대각행렬이면서 대각항이 모두 1인 행렬을 항등행렬이라고 한다.

(이전 포스팅 6번 항목 참고)

보다 정확한 정의는 다음과 같다.

 

2. 역행렬을 구하는 방법

역행렬을 구하는 방법은 다양하다. 

 

(1) 가우스-조단의 방법

(2) 한 행렬을 변수로 놓고 곱을 구해서 항등행렬이 되도록 하는 방법

(3) 수반행렬을 이용하여 구하는 방법

 

오늘은 이 중에서 (3)에 해당하는 방법, 수반행렬을 이용해 역행렬을 구하는 방법을 알아보도록 하겠다.

 

3. 수반행렬이란?

'행렬 A에 대한 여인수를 성분으로 가지는 행렬 B가 있을때, 행렬 B의 전치행렬을 A의 수반행렬이라고 한다.

이게 무슨 이야기인고 하니, 지난 포스팅에서 다루었던 그림을 다시 가져와보겠다.

 

행렬식을 구하기 위해 소행렬을 곱해주었던 전개과정을 기억할 것이다. 이 전개과정을 '여인수 전개' 라고 한다.

그리고 여기에서 여인수란 바로,

검은색 박스가 쳐진 'M', 즉 소행렬식에 +-+-.. 기호를 붙인 M값이 바로 '여인수'이다.

 

소행렬이 기억나지 않는다면 지난 포스팅의 1-2 항목 참고..

 

여전히 이해가 잘 안된다면 다음 예제를 보면서 이해해보도록 하자.

M_ij 에 대한 소행렬식을 구한다음, +-+-.. 부호를 붙여서 여인수를 구한 모습을 확인할 수 있다.

 

이제 본격적으로 수반행렬을 구하여 보자.

위 예제에서 구한 여인수의 값을 행렬로 대응시키면 다음과 같다.

이렇게 구한 행렬 B를 전치행렬로 바꿔주면 그것이 바로 수반행렬이다. 즉, 다음과 같다.

 

이것이 바로 행렬 A에 대한 수반행렬 B, Adj(A) 라고 할 수 있겠다.

이렇게 구한 수반행렬을 다음과 같은 식에 대입하면, 역행렬 A를 구할 수 있다,